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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
3.10.
Derivar, utilizando la regla de la cadena, las siguientes funciones:
u) $f(x)=\left(x^{2}-2 x+1\right)^{\sin(5 x-\pi)}$
u) $f(x)=\left(x^{2}-2 x+1\right)^{\sin(5 x-\pi)}$
Respuesta
Acá nuevamente tenemos algo que depende de $x$ elevado a algo que también depende de $x$... Vamos a seguir los mismos pasos que te mostré en el item (t):
Reportar problema
Nosotros queremos derivar $f(x)=\left(x^{2}-2 x+1\right)^{\sin(5 x-\pi)}$
1. Aplicamos logaritmo natural a ambos lados:
$ \ln(f(x)) = \ln((x^2 - 2x + 1)^{\sin(5x - \pi)}) $
2. Aplicamos la propiedad de potencia de logaritmos:
$ \ln(f(x)) = \sin(5x - \pi) \cdot \ln(x^2 - 2x + 1) $
Ahora derivamos ambos lados con respecto a \( x \) (del lado derecho arrancá aplicando la regla del producto!)
$ \frac{f'(x)}{f(x)} = \cos(5x - \pi) \cdot 5 \cdot \ln(x^2 - 2x + 1) + \sin(5x - \pi) \cdot \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 1} $
Despejamos \( f'(x) \):
$ f'(x) = (x^2 - 2x + 1)^{\sin(5x - \pi)} \cdot \left[\cos(5x - \pi) \cdot 5 \cdot \ln(x^2 - 2x + 1) + \sin(5x - \pi) \cdot \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 1}\right] $